El Cáos a través del péndulo doble

El péndulo doble es uno de los sistemas más sencillos, cualquiera puede construirse uno en su casa con dos masas sujetadas de dos barras, sin embargo demuestra la complejidad de la mecánica en la naturaleza. La imagen en la portada (fuente original) muestra lo compleja que resulta la trayectoria de este segundo péndulo; el primer péndulo recorre arcos de circunferencia, trayectoria roja sin embargo al segundo muestra toda clase de quiebros inesperados, linea amarilla.

Se trata de un sistema donde el comportamiento caótico se presenta de una forma aparente hasta para ángulos de desplazamiento iniciales no muy grandes.

Lo primero que haremos es deducir las ecuaciones del movimiento del péndulo doble. Esto llevará una buena parte del post deduciremos las ecuaciones por dos procedimientos distintos, el Newtoniano y el Lagrangiano. Después exploraremos en que sentido es el movimiento caótico a través del análisis de resultados de la simulación de las ecuaciones deducidas para distintas condiciones iniciales.

Método Newtoniano

Vamos a empezar por plantear el problema desde un punto de vista Newtoniano. Veremos después como el planteamiento se estandariza y facilita si se plantea desde un punto de vista Lagrangiano.

Presentamos en la Figura 1 un esquema de fuerzas y aceleraciones que actúan sobre el sistema.

Figura 1: a) Esquema de fuerzas b) Esquema de aceleraciones, en un péndulo doble.

Según la segunda ley de Newton F=ma (fuerza igual a masa por aceleración) en este caso aplicamos esta ley a las fuerzas de cada una de las masas en la direción vertical (y) y horizontal (x). Tenemos:

F_2\mathrm{sin}{\theta}_2-F_1\mathrm{sin}{\theta}_1=m_1a_{x1}

F_1\mathrm{cos}{\theta}_1-F_2\mathrm{cos}{\theta}_2-m_1g=m_1a_{y1}

-F_2\mathrm{sin}{\theta}_2=m_2a_{x2}

F_2\mathrm{cos}{\theta}_2-m_2g=m_2a_{y2}

De la tercera de estas 4 ecuaciones sacamos:

F_2=-\frac{m_2a_{x2}}{\mathrm{sin}{\theta}_2}

De la primera sustituyendo el valor obtenido pata F_2 tenemos:

F_1=-\frac{m_1a_{x1}+m_2a_{x2}}{\mathrm{sin}{\theta}_1}

De las dos ecuaciones restantes, la segunda y la cuarta obtenemos las ecuaciones que rigen el sistema:

m_1a_{x1}+m_1g-\frac{m_2a_{x2}}{\mathrm{tan}{\theta}_2}+\frac{m_1a_{x1}}{\mathrm{tan}{\theta}_1}

a_{y2}+\frac{a_{x2}}{\mathrm{tan}{\theta}_2}+g=0

Ahora solo queda deducir las aceleraciones del sistema, para ello partimos de las posiciones de los péndulos, las derivamos con respecto al tiempo para obtener las velocidades y las volvemos a derivar para obtener aceleraciones.

Empezamos por las posiciones, de la Figura 1b, se observa (tened en cuenta que el eje y lo consideramos positivo en el sentido ascendente y el origen esta en el punto fijo del péndulo):

x_1=L_1\mathrm{sin}{\theta}_1

y_1=-L_1\mathrm{cos}{\theta}_1

x_2=L_1\mathrm{sin}{\theta}_1+L_2\mathrm{sin}{\theta}_2

y_2=-L_1\mathrm{cos}{\theta}_1-L_2\mathrm{cos}{\theta}_2

Ahora derivamos con respecto al tiempo y obtenemos las velocidades:

v_{x1}=L_1\mathrm{cos}{\theta}_1\dot{{\theta}_1}

v_{y1}=L_1\mathrm{sin}{\theta}_1\dot{{\theta}_1}

v_{x2}=L_1\mathrm{cos}{\theta}_1\dot{{\theta}_1}+L_2\mathrm{cos}{\theta}_2\dot{{\theta}_2}

v_{y2}=L_1\mathrm{sin}{\theta}_1\dot{{\theta}_1}+L_2\mathrm{sin}{\theta}_2\dot{{\theta}_2}

dónde usamos la notación  \dot{z} para denotar la derivada temporal de z. Por último realizamos la segunda derivada:

a_{x1}=L_1(\mathrm{cos}{\theta}_1\ddot{{\theta}_1}-\mathrm{sin}{\theta}_1\dot{{\theta}_1)}

a_{y1}=L_1(\mathrm{sin}{\theta}_1\ddot{{\theta}_1}+\mathrm{cos}{\theta}_1\dot{{\theta}_1})

a_{x2}=L_1(\mathrm{cos}{\theta}_1\ddot{{\theta}_1}-\mathrm{sin}{\theta}_1\dot{{\theta}_1})+L_2(\mathrm{cos}{\theta}_2\ddot{{\theta}_2}-\mathrm{sin}{\theta}_2\dot{{\theta}_2})

a_{y2}=L_1(\mathrm{sin}{\theta}_1\ddot{{\theta}_1}+\mathrm{cos}{\theta}_1\dot{{\theta}_1})+L_2(\mathrm{sin}{\theta}_2\ddot{{\theta}_2} +\mathrm{cos}{\theta}_2\dot{{\theta}_2})

Método Lagrangiano

La teoría de Euler-LaGrange dice que en mecánica se cumple la ecuación

\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right)-\frac{\partial L}{\partial x}=0

Donde $L$ es el Lagrangiano, $x$ es una coordenada generalizada del sistema y $\dot{x}$ su derivada temporal. En nuestro problema coordenadas generalizadas son las posiciones angulares, {\theta }_1 y{\theta }_2. La ley de Euler-LaGrange se demuestra desde los principios newtonianos y es equivalente a aquellos. Se trata de un planteamiento desde el punto de vista energético.

El Lagrangiano se define como:

L=T-V

Donde T es la energía cinética y V la energía potencial del sistema.

Recordemos que la energía potencial gravitatoria es V=-mgy  donde y es la altura (signo menos porque hemos elegido el eje y hacia abajo).

y_1=L_1{\mathrm{cos} {\theta }_1\ }
y_1=L_1{\mathrm{cos} {\theta }_1\ }+L_2{\mathrm{cos} {\theta }_2\ }
V=-m_1gy_1-m_2gy_2
V=-m_1gL_1{\mathrm{cos} {\theta }_1\ }-m_2g\left(L_1{\mathrm{cos} {\theta }_1\ }+L_2{\mathrm{cos} {\theta }_2\ }\right)
V=-g\left[\left(m_1+m_2\right)L_1{\mathrm{cos} {\theta }_1\ }+{m_2L}_2{\mathrm{cos} {\theta }_2\ }\right]

La energía cinética es un poco más difícil de sacar. Recordemos que

T=\frac{1}{2}mv^2

La velocidad de la masa 1 es inmediata.

v_1=L_1\dot{{\theta }_1}

Sin embargo el de la masa 2 resulta de la suma vectorial de la velocidad 1 más la velocidad de la masa dos relativa al sistema no-inercial.

\overrightarrow{v_2}=\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_r}
v_r=L_2\dot{{\theta }_2}

Es fácil de ver que el ángulo que forman \overrightarrow{v_1} y \overrightarrow{v_r} es {\theta }_2-{\theta }_1 y por tanto por el teorema del coseno:

{v_2}^2={\left(L_1\dot{{\theta }_1}\right)}^2+{\left(L_2\dot{{\theta }_2}\right)}^2+2L_1L_2\dot{{\theta }_1}\dot{{\theta }_2}{\mathrm{cos} \left({\theta }_2-{\theta }_1\right)\ }

Por tanto la energía cinética es:

T=\frac{1}{2}m_1{v_1}^2+\frac{1}{2}m_2{v_2}^2
T=\frac{1}{2}m_1{L_1}^2{\dot{{\theta }_1}}^2+\frac{1}{2}m_2\left[{\left(L_1\dot{{\theta }_1}\right)}^2+{\left(L_2\dot{{\theta }_2}\right)}^2+2L_1L_2\dot{{\theta }_1}\dot{{\theta }_2}{\mathrm{cos} \left({\theta }_2-{\theta }_1\right)\ }\right]

El Lagrangiano por tanto:

L=\frac{1}{2}(m_1+m_2){L_1}^2{\dot{{\theta }_1}}^2+\frac{1}{2}m_2\left[{\left(L_2\dot{{\theta }_2}\right)}^2+2L_1L_2\dot{{\theta }_1}\dot{{\theta }_2}{\mathrm{cos} \left({\theta }_2-{\theta }_1\right)\ }\right]+ g\left[\left(m_1+m_2\right)L_1{\mathrm{cos} {\theta }_1\ }+{m_2L}_2{\mathrm{cos} {\theta }_2\ }\right]

El siguiente paso por tanto es calcular las derivadas parciales del Lagrangiano como función $L({\theta }_1,{\theta }_2,\ \dot{{\theta }_1}\dot{{,\theta }_2})$:

\frac{\partial L}{\partial {\theta }_1}=m_2L_1L_2\dot{{\theta }_1}\dot{{\theta }_2}{\mathrm{sin} \left({\theta }_2-{\theta }_1\right)\ }-g\left(m_1+m_2\right)L_1{\mathrm{sin} {\theta }_1\ }
\frac{\partial L}{\partial {\theta }_2}=-m_2L_1L_2\dot{{\theta }_1}\dot{{\theta }_2}{\mathrm{sin} \left({\theta }_2-{\theta }_1\right)\ }-gm_2L_2{\mathrm{sin} {\theta }_1\ }
\frac{\partial L}{\partial \dot{{\theta }_1}}=\left(m_1+m_2\right){L_1}^2\dot{{\theta }_1}+m_2L_1L_2\dot{{\theta }_2}{\mathrm{cos} \left({\theta }_2-{\theta }_1\right)\ }
\frac{\partial L}{\partial \dot{{\theta }_2}}=m_2{L_2}^2\dot{{\theta }_2}+m_2L_1L_2\dot{{\theta }_1}{\mathrm{cos} \left({\theta }_2-{\theta }_1\right)\ }

\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{{\theta }_1}}\right)=\left(m_1+m_2\right){L_1}^2\ddot{{\theta }_1}+m_2L_1L_2\left[\ddot{{\theta }_2}{\mathrm{cos} \left({\theta }_2-{\theta }_1\right)\ }-\dot{{\theta }_2}(\dot{{\theta }_2}-\dot{{\theta }_1}){\mathrm{sin} \left({\theta }_2-{\theta }_1\right)\ }\right]

\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{{\theta }_2}}\right)=m_2{L_2}^2\ddot{{\theta }_2}+m_2L_1L_2\left[\ddot{{\theta }_1}{\mathrm{cos} \left({\theta }_2-{\theta }_1\right)\ }-\dot{{\theta }_1}(\dot{{\theta }_2}-\dot{{\theta }_1}){\mathrm{sin} \left({\theta }_2-{\theta }_1\right)\ }\right]

Por tanto, aplicando \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{{\theta }_i}}\right)-\frac{\partial L}{\partial {\theta }_i}=0, las dos ecuaciones que rigen el sistema (simplificando los términos que se cancelan) son:

\left(m_1+m_2\right)L_1\ddot{{\theta }_1}+m_2L_2\left[\ddot{{\theta }_2}{\mathrm{cos} \left({\theta }_2-{\theta }_1\right)\ }-{\dot{{\theta }_2}}^2{\mathrm{sin} \left({\theta }_2-{\theta }_1\right)\ }\right]+g\left(m_1+m_2\right){\mathrm{sin} {\theta }_1\ }=0

L_2\ddot{{\theta }_2}+L_1\left[\ddot{{\theta }_1}{\mathrm{cos} \left({\theta }_2-{\theta }_1\right)\ }-{\dot{{\theta }_1}}^2{\mathrm{sin} \left({\theta }_2-{\theta }_1\right)\ }\right]+g{\mathrm{sin} {\theta }_1\ }=0

Para que estén escritas de la misma manera que en el apartado anterior solo habría que despejar \ddot{{\theta }_1} y \ddot{{\theta }_2}, cosa que vamos a dejar para el lector.

La ventaja del método Lagrangiano es que no requiere calcular las fuerzas que soportan los péndulos que es un proceso engorroso. Además la manera de llegar hasta las ecuaciones es siempre igual, a cambio requiere realizar varias derivadas.

Comportamiento Caótico del sistema

En Física se dice que un sistema es caótico cuando pequeñas diferencias en las condiciones iniciales del sistema conducen a situaciones muy distintas con el trascurso del tiempo. Para mostrar esto voy a simular dos casos en el primero los péndulos van a soltarse con unos ángulos: {\theta}_1=30^{\circ} \quad (\frac{\pi}{6} \mathrm{rad}) y {\theta}_2=60^{\circ} \quad (\frac{\pi}{3} \mathrm{rad}); el segundo se soltara desde:{\theta}_1=31^{\circ} \quad (\frac{31\pi}{180} \mathrm{rad}) y {\theta}_2=61^{\circ} \quad (\frac{61\pi}{3} \mathrm{rad}). Una diferencia de tan solo 1º produce diferencias importantes en tan solo 3s de simulación. De la misma manera diferencias de 1″ llevarían a errores inaceptables al cabo de unos minutos. Los péndulos simulados tienen una longitud de 1 m y unas masas de 1 kg.

difference_vs_time
Figura 2: Diferencia en la posición de cada una de las masas entre los casos simulados. En azul la diferencia entre los valores de {\theta}_1 en radianes. En naranja la diferencia entre los valores de {\theta}_2 en radianes.
position_vs_time
Figura 3: posiciones de las masas de los pendulos durante los primeros 3s.

 

De la Figura 3 vemos que los dos sistemas se siguen bastante bien durante 1.5 s o así, a partir de ahí empiezan a separarse bastante bruscamente. La Figura 2 muestra la diferencia entre el caso cuyas condiciones iniciales son (30º, 60º) y aquel que tiene (31º,61º). Durante los primeros 1.75s o así las graficás de la Figura 2 estan bastante cerca de cero, indicando que la diferencia entre los dos sistemas es escasa. Sin embargo a los 2s diverge sustancialmente ya que llegan a mas de 2 rad (114º) de diferencia. Observar que la máxima diferencia posible es de 180º, significando que estan en la posición opuesta.

Notar que un error de 1º en la posición de un péndulo de 1m es bastante grande ya que equivale a unos 17 mm de desplazamiento, por esta razón los dos casos divergen a los pocos segundos.

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